calcul du temps de chute moyen maximum d'un pendule renversé en tenant compte de la relation d'incertitude d'Heisenberg
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0
θ
m
l
Conservation de l'énergie:
1 2 m v t 2 g l m θ t = 1 2 m v 0 2 g l m θ 0
Coordonnées:
l θ t l θ t
Vitesse:
v t = l θ′ t
On pose:
2 φ t = θ t
θ t = 1 2 φ t 2
2 φ′ t = θ′ t
La conservation de l'énergie devient:
φ′ t 2 g l φ t 2 φ′ 0 2 g l φ 0 2 = 0
On pose:
g l = ω 2
On a:
φ′ t 2 ω 2 φ t 2 φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2 = 0
φ′ t 2 = φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2 ω 2 φ t 2
On pose:
φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2 = ω 2 k 2
On a:
φ′ t 2 = ω 2 k 2 ω 2 φ t 2
φ′ t 2 = ω 2 k 2 1 k 2 φ t 2
φ′ t = ω k 1 k 2 φ t 2
t′ φ = k ω 1 1 k 2 φ 2
t φ = k ω φ 0 φ a 1 1 k 2 a 2
t φ = k ω φ φ 0 a 1 1 k 2 a 2
t 0 = k ω 0 φ 0 a 1 1 k 2 a 2
t 0 = k ω F φ 0 k
avec:
F φ k = 0 φ a 1 1 k 2 a 2
F φ k est une intégrale elliptique de la première forme. Le Gradshteyn et Ryshik donne (p 910):
F φ k = 2 K′ φ 2 4 φ φ a′ 0 2 3 a′ 1 φ 2 2 3 4 5 a′ 2 φ 4 etc
avec
a′ 0 = 2 K′ 1
a′ n = a′ n 1 2 n 1 2 2 n n 2 k′ 2 n
K′ = K k′ = F 2 k′
K k = K = 2 1 1 2 2 k 2 1 2 3 4 2 k 4 etc 2 n 1 2 2 n n 2 k 2 n etc
k′ 2 = 1 k 2
En s'arrêtant a l'ordre 2 en k′ , on a:
K′ = 2 1 1 2 2 1 k 2
a′ 0 = 2 K′ 1
a′ 1 = a′ 0 1 2 2 1 k 2
F φ k = 1 4 1 k 2 φ φ 5 2 φ 4 φ φ 2 φ 4
La relation d'Heisenberg s'écrit:
Δ x Δ v ℏ 2 m
avec
Δ x = l θ 0
Δ v = l θ′ 0
On a:
l 2 θ 0 θ′ 0 = ℏ 2 m
l 2 2 φ 0 2 φ′ 0 = ℏ 2 m
On pose:
α = 2 φ 0
φ 0 = 2 α
φ′ 0 = α′
On a:
l 2 2 α 2 α′ = ℏ 2 m
4 α α′ l 2 = ℏ 2 m
α′ = ℏ 8 α l 2 m
On pose:
β = ℏ 8 l 2 m ω
On a:
α′ = β ω α
Reprenons le calcul de t 0 , avec:
k = ω φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2 = ω α′ 2 ω 2 α 2 = ω β 2 ω 2 α 2 ω 2 α 2 = 1 β 2 α 2 α 2
On a:
2 φ 4 = α 2
φ φ = 1 α α
F 2 α k α = 1 4 1 k α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2
On pose:
τ α = ω t 0 = k α F 2 α k α
τ′ α = F 1 0 2 α k α k α F 2 α k α k′ α F 0 1 2 α k α k α k′ α
τ′ α = F 1 0 2 α k α k α F 2 α k α k α 3 β 2 α 3 α α F 0 1 2 α k α k α 4 β 2 α 3 α α
F φ k = 0 φ a 1 1 k 2 a 2
F 1 0 φ k = 1 1 k 2 φ 2
F 1 0 2 α k α = 1 β β 2 α 2 α 2 = α β 1 k α
τ′ α = α β k α 3 β 2 α 3 α α F 2 α k α k α F 0 1 2 α k α = α β k α 3 β 2 α 3 α α τ α k α k α F 0 1 2 α k α
τ α = 1 4 k α 1 k α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2
τ′ α = α β 1 4 k α 3 β 2 α 3 α α 1 3 k α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2
Pour α 2 = β , on a:
k α = 1 α 2 α 2
τ′ α = 1 α 1 4 1 α 2 α 2 1 α 2 α 2 α α α 1 3 1 α 2 α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2
0 α τ′ α = 0
Calculons la valeur du temps de chute pour cette valeur de α :
τ α ~ α 2 ~ α 2 = 1 4 16 β 2 = 1 4 1024 g l 3 m 2 ℏ 2
t 0 = τ α ω = l 16 g 1024 g l 3 m 2 ℏ 2
Application numérique
Pour un pendule de 30 cm et 300 g , avec:
g = 9.8 m s -2
ℏ = 6.63E-34 2 kg m 2 s -1
on a:
ω = 5.71 rad s -1
t 0 = 6.98 s
Références
[1] Groupes Google -- Fil de discussion "Coriolis ?" http://groups.google.com/group/fr.sci.physique/browse_frm/thread/6ad2c1e48a95b40d/
[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique I, Hermann, 1977, pp 46-47, Complément B_I, Contraintes imposées par la relation d'incertitude
[3] David Morin, Introductory Classical Mechanics, with Problems and Solutions, 2004, pp II-25/37, Balancing a pencil