]> calcul du temps de chute moyen maximum d'un pendule renversé en tenant compte de la relation d'incertitude d'Heisenberg

calcul du temps de chute moyen maximum d'un pendule renversé en tenant compte de la relation d'incertitude d'Heisenberg




Conservation de l'énergie:

- g l m cos ( θ ( t ) ) + m 1 2 v 2 ( t ) = - g l m cos ( θ ( 0 ) ) + m 1 2 v 2 ( 0 )

Coordonnées:

( l sin ( θ ( t ) ) - l cos ( θ ( t ) ) )

Vitesse:

v ( t ) = l θ ' ( t )

On pose:

2 φ ( t ) = θ ( t )
cos ( θ ( t ) ) = 1 - 2 sin 2 ( φ ( t ) )
2 φ ' ( t ) = θ ' ( t )

La conservation de l'énergie devient:

- g l sin 2 ( φ ( 0 ) ) + g l sin 2 ( φ ( t ) ) - φ ' 2 ( 0 ) + φ ' 2 ( t ) = 0

On pose:

g l = ω 2

On a:

- ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + ω 2 sin 2 ( φ ( t ) ) - φ ' 2 ( 0 ) + φ ' 2 ( t ) = 0

φ ' 2 ( t ) = ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) - ω 2 sin 2 ( φ ( t ) ) + φ ' 2 ( 0 )

φ ' 2 ( t ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) = 1 - ω 2 sin 2 ( φ ( t ) ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

1 ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) φ ' ( t ) = - 1 - ω 2 sin 2 ( φ ( t ) ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) t ' ( φ ) = - 1 1 - ω 2 sin 2 ( φ ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) t ( φ ) = - φ ( 0 ) φ 1 1 - ω 2 sin 2 ( a ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) d a

t ( φ ) = φ φ ( 0 ) 1 1 - ω 2 sin 2 ( a ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) d a ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

t ( 0 ) = 0 φ ( 0 ) 1 1 - ω 2 sin 2 ( a ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) d a ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

t ( 0 ) = F ( φ ( 0 ) , k ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

avec:

F ( φ , k ) = 0 φ 1 1 - k 2 sin 2 ( a ) d a

k 2 = ω 2 ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 )

F ( φ , k ) est une intégrale elliptique de la première forme. Le Gradshteyn et Ryshik donne (p 910):

F ( φ , k ) = K ' 2 π log ( tan ( φ 2 + π 4 ) ) - tan ( φ ) cos ( φ ) ( a 0 ' - a 1 ' 2 3 tan 2 ( φ ) + a 2 ' 2 3 4 5 tan 4 ( φ ) - ... )

avec

a 0 ' = - 1 + K ' 2 π
a n ' = a - 1 + n ' - ( ( - 1 + 2 n ) !! n ! 2 n ) 2 k ' 2 n

K ' = K ( k ' ) = F ( π 2 , k ' )

K ( k ) = K = π 2 ( 1 + k 2 ( 1 2 ) 2 + k 4 ( 1 2 3 4 ) 2 + ... + ( ( - 1 + 2 n ) !! n ! 2 n ) 2 k 2 n + ... )

k ' 2 = 1 - k 2

En s'arrêtant a l'ordre 2 en k ' , on a (voir l'annexe pour la validité):

F ( φ , k ) = - k ' 2 4 tan ( φ ) cos ( φ ) + k ' 2 4 log ( tan ( φ 2 + π 4 ) ) + log ( tan ( φ 2 + π 4 ) )

La relation d'Heisenberg s'écrit:

Δ x Δ v hbar 2 m

avec

Δ x = l ( π - θ ( 0 ) )
Δ v = l ( - θ ' ( 0 ) )

On a:

l 2 ( π - θ ( 0 ) ) ( - θ ' ( 0 ) ) = hbar 2 m

l 2 ( π - 2 φ ( 0 ) ) ( - 2 φ ' ( 0 ) ) = hbar 2 m

On pose:

α = π 2 - φ ( 0 )
φ ( 0 ) = - α + π 2
φ ' ( 0 ) = - α '

On a:

l 2 ( 2 α ) ( 2 α ' ) = hbar 2 m

4 α α ' l 2 = hbar 2 m

α ' = hbar 8 α l 2 m

On pose:

β = hbar 8 l 2 m ω

On a:

α ' = β ω α

Reprenons le calcul de t ( 0 ) :

t ( 0 ) = F ( φ ( 0 ) , k ) ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) = F ( φ ( 0 ) , k ) α ' 2 + ω 2 cos 2 ( α ) = F ( φ ( 0 ) , k ) ω 2 cos 2 ( α ) + β 2 ω 2 α 2 = F ( φ ( 0 ) , k ) ω cos 2 ( α ) + β 2 α 2

On pose:

τ ( α ) = ω t ( 0 )

On a:

τ ( α ) = F ( φ ( 0 ) , k ) cos 2 ( α ) + β 2 α 2

avec:

F ( φ ( 0 ) , k ) = - k ' 2 4 tan ( φ ( 0 ) ) cos ( φ ( 0 ) ) + k ' 2 4 log ( tan ( π 4 + φ ( 0 ) 2 ) ) + log ( tan ( π 4 + φ ( 0 ) 2 ) ) = - k ' 2 4 1 sin ( α ) 1 tan ( α ) - k ' 2 4 log ( tan ( α 2 ) ) - log ( tan ( α 2 ) ) = - k ' 2 4 cos ( α ) sin 2 ( α ) - k ' 2 4 log ( tan ( α 2 ) ) - log ( tan ( α 2 ) )

Reprenons le calcul de k ' 2 :

k ' 2 = 1 - ω 2 ω 2 sin 2 ( φ ( 0 ) ) + φ ' 2 ( 0 ) = 1 - 1 φ ' 2 ( 0 ) ω 2 + sin 2 ( φ ( 0 ) ) = 1 - 1 cos 2 ( α ) + α ' 2 ω 2 = 1 - 1 cos 2 ( α ) + β 2 α 2

Reprenons le calcul de τ ( α ) :

τ ( α ) = F ( φ ( 0 ) , k ) cos 2 ( α ) + β 2 α 2 = - k ' 2 4 cos ( α ) sin 2 ( α ) - k ' 2 4 log ( tan ( α 2 ) ) - log ( tan ( α 2 ) ) cos 2 ( α ) + β 2 α 2 = - cos ( α ) sin 2 ( α ) 1 4 + cos ( α ) sin 2 ( α ) 1 4 1 cos 2 ( α ) + β 2 α 2 + 1 4 1 cos 2 ( α ) + β 2 α 2 log ( tan ( α 2 ) ) - 1 4 log ( tan ( α 2 ) ) - log ( tan ( α 2 ) ) cos 2 ( α ) + β 2 α 2

On suppose que α est proche de 0 :

sin ( α ) α
cos ( α ) 1
tan ( α 2 ) α 2

On suppose de plus que β est un O ( α 2 ) :

cos 2 ( α ) + β 2 α 2 1 + β 2 2 α 2

τ ( α ) = 1 α 2 1 1 + β 2 α 2 1 4 - 1 α 2 1 4 + 1 1 + β 2 α 2 1 4 log ( α 2 ) - 1 4 log ( α 2 ) - log ( α 2 ) 1 + β 2 2 α 2 = - 5 α 2 β 2 log ( α 2 ) + 4 α 4 log ( α 2 ) + β 2 6 α 2 β 2 + 4 α 4 + 2 β 4

τ ' ( α ) = d - 5 α 2 β 2 log ( α 2 ) + 4 α 4 log ( α 2 ) + β 2 6 α 2 β 2 + 4 α 4 + 2 β 4 d α ( α ) = 6 α β 4 - 5 α β 6 - 10 α β 6 log ( α 2 ) + 8 α 3 β 2 - 19 α 3 β 4 - 16 α 3 β 4 log ( α 2 ) - 22 α 5 β 2 - 4 α 5 β 2 log ( α 2 ) - 8 α 7 12 α 2 β 6 + 26 α 4 β 4 + 24 α 6 β 2 + 8 α 8 + 2 β 8

Cherchons la valeur de α qui vérifie:

τ ' ( α ) = 0

- 2 log ( α 2 ) ( 8 α 2 β 4 + 2 α 4 β 2 + 5 β 6 ) + ( 8 α 2 β 2 - 19 α 2 β 4 - 22 α 4 β 2 - 8 α 6 + 6 β 4 - 5 β 6 ) = 0

- 2 log ( α 2 ) ( 2 O ( β 4 ) + 8 O ( β 5 ) + 5 O ( β 6 ) ) + ( 8 α 2 β 2 - 8 α 6 - 16 O ( β 4 ) - 19 O ( β 5 ) - 5 O ( β 6 ) ) = 0

8 α 2 β 2 - 8 α 6 = 0

α 2 = β

Calculons la valeur du temps de chute pour cette valeur de alpha:

τ ( α ) = - 1 + 5 β log ( α 2 ) + 4 log ( α 2 ) 4 + 6 β + 2 β 2 - 1 4 - log ( α 2 ) = - 1 2 log ( β 4 ) - 1 4 = - 1 2 log ( hbar 32 l 2 m ω ) - 1 4 = 1 2 log ( 32 l 2 m ω hbar ) - 1 4

t ( 0 ) = τ ( α ) ω = 1 2 ω log ( 32 l 2 m ω hbar ) - 1 4 ω

Application numérique

Pour un pendule de 30 cm et 300 g, avec:

g = 9.8 m s -2
hbar = 6.63 10 -34 2 π kg m 2 s -1

on a:

ω = g l = 5.71 s -1

t ( 0 ) = 6.94 s

Annexe

Vérifions que la formule employée pour le calcul de l'intégrale converge. Pour cela il suffit que k ' 2 tan 2 ( φ ( 0 ) ) < 1 .

k ' 2 = 1 - 1 cos 2 ( α ) + β 2 α 2 = - 1 + cos 2 ( α ) + β 2 α 2 cos 2 ( α ) + β 2 α 2 = β 2 α 2 - sin 2 ( α ) cos 2 ( α ) + β 2 α 2

k ' 2 tan 2 ( φ ( 0 ) ) = k ' 2 tan 2 ( α ) = β 2 α 2 - sin 2 ( α ) cos 2 ( α ) + β 2 α 2 1 tan 2 ( α ) = - 1 + β 2 α 2 sin 2 ( α ) 1 + β 2 α 2 cos 2 ( α ) - 1 + β 2 α 4 1 + β 2 α 2 = - 1 + β 2 β 2 1 + β 2 β = 0 1 + β 0

Références

[1] Groupes Google -- Fil de discussion "Coriolis ?"

[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique I, Hermann, 1977, pp 46-47, Complément B_I, Contraintes imposées par la relation d'incertitude


created on Wed May 16 2001