pendulum

calcul du temps de chute moyen maximum d'un pendule renversé en tenant compte de la relation d'incertitude d'Heisenberg Conservation de l'énergie: $12 m v t 2 g l m θ t$ = $12 m v 0 2 g l m θ 0$ Coordonnées: $l θ t l θ t$ Vitesse: $v t$ = $l θ′ t$ On pose: $2 φ t$ = $θ t$ $θ t$ = $1 2 φ t 2$ $2 φ′ t$ = $θ′ t$ La conservation de l'énergie devient: $φ′ t 2 g l φ t 2 φ′ 0 2 g l φ 0 2$ = $0$ On pose: $g l$ = $ω 2$ On a: $φ′ t 2 ω 2 φ t 2 φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2$ = $0$ $φ′ t 2$ = $φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2 ω 2 φ t 2$ On pose: $φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2$ = $ω 2 k 2$ On a: $φ′ t 2$ = $ω 2 k 2 ω 2 φ t 2$ $φ′ t 2$ = $ω 2 k 2 1 k 2 φ t 2$ $φ′ t$ = $ω k 1 k 2 φ t 2$ $t′ φ$ = $k ω 1 1 k 2 φ 2$ $t φ$ = $k ω φ 0 φ a 1 1 k 2 a 2$ $t φ$ = $k ω φ φ 0 a 1 1 k 2 a 2$ $t 0$ = $k ω 0 φ 0 a 1 1 k 2 a 2$ $t 0$ = $k ω F φ 0 k$ avec: $F φ k$ = $0 φ a 1 1 k 2 a 2$ $F φ k$ est une intégrale elliptique de la première forme. Le Gradshteyn et Ryshik donne (p 910): $F φ k$ = $2 K′ φ 2 4 φ φ {a′}_{0} 23 {a′}_{1} φ 2 2345 {a′}_{2} φ 4 etc$ avec ${a′}_{0}$ = $2 K′ 1$ ${a′}_{n}$ = ${a′}_{n 1} 2 n 1 2 2 n n 2 k′ 2 n$ $K′$ = $K k′$ = $F 2 k′$ $K k$ = $K$ = $2 1 122 k 2 12342 k 4 etc 2 n 1 2 2 n n 2 k 2 n etc$ $k′ 2$ = $1 k 2$ En s'arrêtant a l'ordre 2 en $k′$ , on a: $K′$ = $2 1 122 1 k 2$ ${a′}_{0}$ = $2 K′ 1$ ${a′}_{1}$ = ${a′}_{0} 122 1 k 2$ $F φ k$ = $14 1 k 2 φ φ 5 2 φ 4 φ φ 2 φ 4$ La relation d'Heisenberg s'écrit: $Δ x Δ v ℏ 2 m$ avec $Δ x$ = $l θ 0$ $Δ v$ = $l θ′ 0$ On a: $l 2 θ 0 θ′ 0$ = $ℏ 2 m$ $l 2 2 φ 0 2 φ′ 0$ = $ℏ 2 m$ On pose: $α$ = $2 φ 0$ $φ 0$ = $2 α$ $φ′ 0$ = $α′$ On a: $l 2 2 α 2 α′$ = $ℏ 2 m$ $4 α α′ l 2$ = $ℏ 2 m$ $α′$ = $ℏ 8 α l 2 m$ On pose: $β$ = $ℏ 8 l 2 m ω$ On a: $α′$ = $β ω α$ Reprenons le calcul de $t 0$ , avec: $k$ = $ω φ′ 0 2 ω 2 φ 0 2$ = $ω α′ 2 ω 2 α 2$ = $ω β 2 ω 2 α 2 ω 2 α 2$ = $1 β 2 α 2 α 2$ On a: $2 φ 4$ = $α 2$ $φ φ$ = $1 α α$ $F 2 α k α$ = $14 1 k α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2$ On pose: $τ α$ = $ω t 0$ = $k α F 2 α k α$ $τ′ α$ = $F^{(1, 0)} 2 α k α k α F 2 α k α k′ α F^{(0, 1)} 2 α k α k α k′ α$ $τ′ α$ = $F^{(1, 0)} 2 α k α k α F 2 α k α k α 3 β 2 α 3 α α F^{(0, 1)} 2 α k α k α 4 β 2 α 3 α α$ $F φ k$ = $0 φ a 1 1 k 2 a 2$ $F^{(1, 0)} φ k$ = $1 1 k 2 φ 2$ $F^{(1, 0)} 2 α k α$ = $1 β β 2 α 2 α 2$ = $α β 1 k α$ $τ′ α$ = $α β k α 3 β 2 α 3 α α F 2 α k α k α F^{(0, 1)} 2 α k α$ = $α β k α 3 β 2 α 3 α α τ α k α k α F^{(0, 1)} 2 α k α$ $τ α$ = $14 k α 1 k α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2$ $τ′ α$ = $α β 14 k α 3 β 2 α 3 α α 1 3 k α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2$ Pour $α 2$ = $β$ , on a: $k α$ = $1 α 2 α 2$ $τ′ α$ = $1 α 14 1 α 2 α 2 1 α 2 α 2 α α α 1 3 1 α 2 α 2 1 α α 5 α 2 1 α α α 2$ $0 α τ′ α$ = $0$ Calculons la valeur du temps de chute pour cette valeur de $α$ : $τ α$ ~ $α 2$ ~ $α 2$ = $14 16 β 2$ = $14 1024 g l 3 m 2 ℏ 2$ $t 0$ = $τ α ω$ = $l 16 g 1024 g l 3 m 2 ℏ 2$ Application numérique Pour un pendule de $30 cm$ et $300 g$ , avec: $g$ = $9.8 m s -2$ $ℏ$ = $6.63E-34 2 kg m 2 s -1$ on a: $ω$ = $5.71 rad s -1$ $t 0$ = $6.98 s$ Références [1] Groupes Google -- Fil de discussion "Coriolis ?" http://groups.google.com/group/fr.sci.physique/browse_frm/thread/6ad2c1e48a95b40d/ [2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique I, Hermann, 1977, pp 46-47, Complément B_I, Contraintes imposées par la relation d'incertitude [3] David Morin, Introductory Classical Mechanics, with Problems and Solutions, 2004, pp II-25/37, Balancing a pencil